Рабочая программа по алгебре
и началам математического анализа.
10—11 классы
Пояснительная записка
Программа включает четыре раздела.
1. Пояснительная записка, в которой конкретизируются
общие цели среднего общего образования по алгебре и
началам анализа:
• характеристика учебного курса;
• место в учебном плане;
• личностные, метапредметные и предметные результаты освоения учебного курса;
• планируемые результаты изучения учебного курса.
2. Содержание курса алгебры и начал математического
анализа 10—11 классов.
3. Примерное тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности обучающихся.
4. Рекомендации по организации и оснащению учебного
процесса.
Учебный курс построен на основе Федерального государственного образовательного стандарта с учётом Концепции математического образования и ориентирован на
требования к результатам образования, содержащимся
в Примерной основной образовательной программе основного общего образования. В нём также учитываются
доминирующие идеи и положения программы развития
и формирования универсальных учебных действий для
основного общего образования, которые обеспечивают
формирование российской гражданской идентичности,
коммуникативных качеств личности и способствуют формированию ключевой компетенции — умения учиться.
Программа по алгебре и началам математического
анализа направлена на реализацию системно-деятельностного подхода к процессу обучения, который обеспечивает:
108

• построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических, физиологических особенностей и здоровья обучающихся;
• формирование готовности обучающихся к саморазвитию и непрерывному образованию;
• формирование активной учебно-познавательной деятельности обучающихся;
• формирование позитивного отношения к познанию научной картины мира;
• осознанную организацию обучающимися своей деятельности, а также адекватное её оценивание;
• построение развивающей образовательной среды обучения.
Изучение алгебры и начал математического анализа
направлено на достижение следующих целей:
• системное и осознанное усвоение курса алгебры и начал
математического анализа;
• формирование математического стиля мышления,
включающего в себя индукцию и дедукцию, обобщение
и конкретизацию, анализ и синтез, классификацию и
систематизацию, абстрагирование и аналогию;
• развитие интереса обучающихся к изучению алгебры
и начал математического анализа;
• использование математических моделей для решения
прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
• приобретение опыта осуществления учебно-исследовательской, проектной и информационно-познавательной деятельности;
• развитие индивидуальности и творческих способностей, направленное на подготовку выпускников к осознанному выбору профессии.
Учебный предмет «Алгебра и начала математического
анализа» входит в перечень учебных предметов, обязательных для изучения в средней общеобразовательной школе.
Данная программа предусматривает изучение предмета на
базовом уровне.
Программа реализует авторские идеи развивающего
обучения алгебре и началам математического анализа,
109

которое достигается особенностями изложения теоретического материала и системой упражнений на сравнение,
анализ, выделение главного, установление связей, классификацию, обобщение и систематизацию.

Общая характеристика курса
Содержание курса алгебры и начал математического
анализа в 10—11 классах представлено в виде следующих содержательных разделов: «Числа и величины»,
«Выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции»,
«Элементы математического анализа», «Вероятность и
статистика. Работа с данными», «Алгебра и начала математического анализа в историческом развитии».
В разделе «Числа и величины» расширяется понятие
числа, которое служит фундаментом гибкого и мощного аппарата, используемого в решении математических
задач и в решении задач смежных дисциплин. Материал данного раздела завершает содержательную линию
школьного курса математики «Числа и величины».
Особенностью раздела «Выражения» является то, что
материал изучается в разных темах курса: «Показательная и логарифмическая функции», «Тригонометрические
функции», «Степенная функция». При изучении этого
раздела формируется представление о прикладном значении математики, о первоначальных принципах вычислительной математики. В задачи изучения раздела входит
развитие умения решать задачи рациональными методами, вносить необходимые коррективы в ходе решения
задачи.
Особенностью раздела «Уравнения и неравенства» является то, что материал изучается в разных темах курса:
«Показательная и логарифмическая функции», «Тригонометрические функции», «Степенная функция». Материал данного раздела носит прикладной характер и
учитывает взаимосвязь системы научных знаний и метода познания — математического моделирования, представляет широкие возможности для развития алгорит110

мического мышления, обеспечивает опыт продуктивной
деятельности для развития мотивации к обучению и интеллекта.
Раздел «Функции» расширяет круг элементарных
функций, изученных в курсе алгебры 7—9 классов, а
также методов их исследования. Целью изучения данного раздела является формирование умения соотносить реальные зависимости из окружающей жизни и
из смежных дисциплин с элементарными функциями,
использовать функциональные представления для решения задач. Соответствующий материал способствует развитию самостоятельности в организации и проведении
исследований, воображения и творческих способностей
учащихся.
Материал раздела «Элементы математического анализа», включающий в себя темы «Производная и её применение» и «Интеграл и его применение», формирует представления об общих идеях и методах математического
анализа. Цель изучения раздела — применение аппарата
математического анализа для решения математических
и практических задач, а также для доказательства ряда
теорем математического анализа и геометрии.
Содержание раздела «Вероятность и статистика. Работа с данными» раскрывает прикладное и практическое значение математики в современном мире. Материал данного раздела способствует формированию умения
воспринимать, представлять и критически анализировать
информацию, представленную в различных формах, пониманию вероятностного характера реальных зависимостей.
Раздел «Алгебра и начала математического анализа в
историческом развитии» позволяет сформировать представление о культурных и исторических факторах становления математики как науки, о ценности математических
знаний и их применении в современном мире, о связи научного знания и ценностных установок.

111

Личностные, метапредметные
и предметные результаты освоения содержания курса
алгебры и начал математического анализа
Изучение алгебры и начал математического анализа
по данной программе способствует формированию у учащихся личностных, метапредметных и предметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта
среднего общего образования.
Личностные результаты:
1) воспитание российской гражданской идентичности:
патриотизма, уважения к Отечеству, осознание вклада
отечественных учёных в развитие мировой науки;
2) формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной
практики;
3) ответственное отношение к обучению, готовность и
способность к саморазвитию и самообразованию на
протяжении всей жизни; сознательное отношение к
непрерывному образованию как условию успешной
профессиональной и общественной деятельности;
4) осознанный выбор будущей профессиональной деятельности на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений; отношение к профессиональной деятельности как к возможности участия
в решении личных, общественных, государственных
и общенациональных проблем; формирование уважительного отношения к труду, развитие опыта участия в
социально значимом труде;
5) умение контролировать, оценивать и анализировать
процесс и результат учебной и математической деятельности;
6) умение управлять своей познавательной деятельностью;
7) умение взаимодействовать с одноклассниками, детьми
младшего возраста и взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
112

8) критичность мышления, инициатива, находчивость,
активность при решении математических задач.
1)
2)

3)
4)
5)

6)

7)
8)
9)

Метапредметные результаты:
умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя новые задачи
в учёбе;
умение соотносить свои действия с планируемыми
результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять
способы действий в рамках предложенных условий и
требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;
умение самостоятельно принимать решения, проводить анализ своей деятельности, применять различные
методы познания;
владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности;
формирование понятийного аппарата, умения создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации;
умение устанавливать причинно-следственные связи,
строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;
формирование компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий;
умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
умение самостоятельно осуществлять поиск в различных источниках, отбор, анализ, систематизацию и
классификацию информации, необходимой для решения математических проблем, представлять её в
понятной форме; принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или вероятностной
информации; критически оценивать и интерпретиро113

вать информацию, получаемую из различных источников;
10) умение использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
11) умение выдвигать гипотезы при решении задачи, понимать необходимость их проверки;
12) понимание сущности алгоритмических предписаний
и умение действовать в соответствии с предложенным
алгоритмом.
1)
2)
3)

4)
5)

6)
7)

Предметные результаты:
осознание значения математики в повседневной жизни
человека;
представление о математической науке как сфере математической деятельности, об этапах её развития, о её
значимости для развития цивилизации;
умение описывать явления реального мира на математическом языке; представление о математических
понятиях и математических моделях как о важнейшем
инструментарии, позволяющем описывать и изучать
разные процессы и явления;
представление об основных понятиях, идеях и методах
алгебры и математического анализа;
представление о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умение находить и
оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
владение методами доказательств и алгоритмами решения; умение их применять, проводить доказательные
рассуждения в ходе решения задач;
практически значимые математические умения и навыки, способность их применения к решению математических и нематематических задач, предполагающие
умение:

114

• выполнять вычисления с действительными и комплексными числами;
• решать рациональные, иррациональные, показательные, степенные и тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств;
• решать текстовые задачи арифметическим способом,
с помощью составления и решения уравнений, систем уравнений и неравенств;
• использовать алгебраический язык для описания
предметов окружающего мира и создания соответствующих математических моделей;
• выполнять тождественные преобразования рациональных, иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических выражений;
• выполнять операции над множествами;
• исследовать функции с помощью производной и
строить их графики;
• вычислять площади фигур и объёмы тел с помощью
определённого интеграла;
• проводить вычисления статистических характеристик, выполнять приближённые вычисления;
• решать комбинаторные задачи;
8) владение навыками использования компьютерных
программ при решении математических задач.

Место курса алгебры и начал математического
анализа в базисном учебном плане
В базисном учебном (образовательном) плане на изучение алгебры и начал математического анализа в 10—
11 классах основной школы отведено 3 учебных часа в
неделю в течение каждого года обучения. Учебное время
может быть увеличено до 4 часов в неделю за счёт вариативной части базисного учебного плана.

115

Планируемые результаты обучения
алгебре и началам математического анализа
Числа и величины
Выпускник научится:
• оперировать понятием «радианная мера угла», выполнять преобразования радианной меры в градусную и
градусной меры в радианную;
• оперировать понятием «комплексное число», выполнять
арифметические операции с комплексными числами;
• изображать комплексные числа на комплексной плоскости, находить комплексную координату числа.
Выпускник получит возможность:
• использовать различные меры измерения углов при
решении геометрических задач, а также задач из смежных дисциплин;
• применять комплексные числа для решения алгебраических уравнений.

Выражения
Выпускник научится:
• оперировать понятиями корня n-й степени, степени с
рациональным показателем, степени с действительным
показателем, логарифма;
• применять понятия корня n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным
показателем, логарифма и их свойства в вычислениях
и при решении задач;
• выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным
показателем, логарифм;
116

• оперировать понятиями: косинус, синус, тангенс, котангенс угла поворота, арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс;
• выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Выпускник получит возможность:
• выполнять многошаговые преобразования выражений,
применяя широкий набор способов и приёмов;
• применять тождественные преобразования выражений
для решения задач из различных разделов курса.

Уравнения и неравенства
Выпускник научится:
• решать иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, неравенства и
их системы;
• решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;
• понимать уравнение как важнейшую математическую
модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
• применять графические представления для исследования уравнений.
Выпускник получит возможность:
• овладеть приёмами решения уравнений, неравенств и
систем уравнений; применять аппарат уравнений для
решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
• применять графические представления для исследования уравнений, неравенств, систем уравнений, содержащих параметры.
117

Функции
•
•
•

•
•

Выпускник научится:
понимать и использовать функциональные понятия,
язык (термины, символические обозначения);
выполнять построение графиков функций с помощью
геометрических преобразований;
выполнять построение графиков вида y = n x , степенных, тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций;
исследовать свойства функций;
понимать функцию как важнейшую математическую
модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими
величинами.

Выпускник получит возможность:
• проводить исследования, связанные с изучением
свойств функций, в том числе с использованием компьютера;
• использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса математики.

Элементы математического
анализа
Выпускник научится:
• понимать терминологию и символику, связанную с понятиями производной, первообразной и интеграла;
• решать неравенства методом интервалов;
• вычислять производную и первообразную функции;
• использовать производную для исследования и построения графиков функций;
118

• понимать геометрический смысл производной и определённого интеграла;
• вычислять определённый интеграл.
Выпускник получит возможность:
• сформировать представление о пределе функции в
точке;
• сформировать представление о применении геометрического смысла производной и интеграла в курсе математики, в смежных дисциплинах;
• сформировать и углубить знания об интеграле.

Вероятность и статистика.
Работа с данными
Выпускник научится:
• решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций;
• применять формулу бинома Ньютона для преобразования выражений;
• использовать метод математической индукции для доказательства теорем и решения задач;
• использовать способы представления и анализа статистических данных;
• выполнять операции над событиями и вероятностями.
Выпускник получит возможность:
• научиться специальным приёмам решения комбинаторных задач;
• характеризовать процессы и явления, имеющие вероятностный характер.

Содержание курса
Числа и величины
Радианная мера угла. Связь радианной меры угла с градусной мерой.
Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.
Сопряжённые комплексные числа. Действительная и
мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа.
Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами. Натуральная степень комплексного
числа. Формула Муавра.

Выражения
Корень n-й степени. Арифметический корень n-й степени. Свойства корня n-й степени. Тождественные преобразования выражений, содержащих корни n-й степени.
Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня.
Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Тождественные преобразования выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
Косинус, синус, тангенс, котангенс угла поворота. Основные соотношения между косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента. Формулы
сложения. Формулы приведения. Формулы двойного и
половинного углов. Формулы суммы и разности синусов (косинусов). Формулы преобразования произведения
в сумму. Тождественные преобразования выражений,
содержащих косинусы, синусы, тангенсы и котангенсы.
120

Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс. Простейшие свойства арккосинуса, арксинуса, арктангенса,
арккотангенса.
Степень с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Тождественные преобразования выражений, содержащих степени с действительным показателем.
Логарифм. Свойства логарифмов. Тождественные преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Уравнения и неравенства
Область определения уравнения (неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Равносильные преобразования уравнений (неравенств). Уравнение-следствие
(неравенство-следствие). Посторонние корни.
Иррациональные уравнения (неравенства). Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений (неравенств). Метод следствий для решения иррациональных уравнений.
Тригонометрические уравнения (неравенства). Основные тригонометрические уравнения (неравенства) и методы их решения. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения первой
и второй степеней. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Показательные уравнения (неравенства). Равносильные преобразования показательных уравнений (неравенств). Показательные уравнения (неравенства), сводящиеся к алгебраическим.
Логарифмические уравнения (неравенства). Равносильные преобразования логарифмических уравнений
(неравенств). Логарифмические уравнения (неравенства),
сводящиеся к алгебраическим.
Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
121

Функции
Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные
и нечётные функции. Свойства графиков чётной и нечётной функций.
Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов, сжатий,
растяжений, симметрий).
Обратимые функции. Связь возрастания и убывания
функции с её обратимостью. Взаимно обратные функции.
Свойства графиков взаимно обратных функций.
Степенная функция. Степенная функция с натуральным (целым) показателем. Свойства степенной функции
с натуральным (целым) показателем. График степенной
функции с натуральным (целым) показателем.
Функция y =

n

x . Взаимообратность функций y =

n

x

и степенной функции с натуральным показателем. Свойства функции y = n x и её график.
Периодические функции. Период периодической функции. Главный период. Свойства графика периодической
функции.
Тригонометрические функции: косинус, синус, тангенс, котангенс. Знаки значений тригонометрических
функций. Чётность и нечётность тригонометрических
функций. Периодичность тригонометрических функций.
Свойства тригонометрических функций. Графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции. Свойства обратных тригонометрических функций и их графики.
Показательная функция. Свойства показательной
функции и её график.
Логарифмическая функция. Свойства логарифмической функции и её график.

122

Элементы математического
анализа
Предел функции в точке. Непрерывность. Промежутки
знакопостоянства непрерывной функции. Непрерывность
рациональной функции. Метод интервалов.
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции в точке. Таблица производных. Правила вычисления производных. Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной
к графику функции. Признаки возрастания и убывания
функции. Точки экстремума функции. Метод нахождения
наибольшего и наименьшего значений функции. Построение графиков функций.
Первообразная функция. Общий вид первообразных.
Неопределённый интеграл. Таблица первообразных
функций. Правила нахождения первообразной функции.
Определённый интеграл. Формула Ньютона — Лейбница.
Методы нахождения площади фигур и объёма тел, ограниченных данными линиями и поверхностями.

Вероятность и статистика.
Работа с данными
Повторение. Решение задач на табличное и графическое представление данных. Использование свойств
и характеристик числовых наборов: средних, наибольшего и наименьшего значений, размаха, дисперсии.
Решение задач на определение частоты и вероятности
событий. Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными исходами. Решение задач
с применением комбинаторики. Решение задач на вычисление вероятностей независимых событий, применение формулы сложения вероятностей. Решение задач
с применением диаграмм Эйлера, дерева вероятностей,
формулы Бернулли.
123

Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Дискретные случайные величины и распределения.
Независимые случайные величины. Распределение суммы и произведения независимых случайных величин.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы
случайных величин.
Геометрическое распределение. Биномиальное распределение и его свойства.
Непрерывные случайные величины. Понятие о плотности вероятности. Равномерное распределение. Показательное распределение, его параметры. Понятие о
нормальном распределении. Параметры нормального распределения. Примеры случайных величин, подчинённых
нормальному закону (погрешность измерений, рост человека).
Неравенство Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел.
Выборочный метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе.
Ковариация двух случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения двух случайных величин. Выборочный коэффициент корреляции.

Алгебра и начала
математического анализа
в историческом развитии
Развитие идеи числа, появление комплексных чисел и
их применение. История возникновения дифференциального и интегрального исчисления. Полярная система координат. Элементарное представление о законе больших
чисел.

124